中国社会科学网讯  6月7日晚，应武汉大学哲学学院陈波教授邀请，德国帕德博恩大学科学技术哲学荣休教授，AHCI期刊《逻辑的历史和哲学》主编、德国纽伦堡埃尔兰根大学哲学博士，沃尔克•佩克豪斯（Volker Peckhaus）作武汉大学逻辑与哲学系列讲座第78讲：“寻找基础：数理逻辑和数学基础的前史”。本次讲座由陈波教授主持，武汉大学哲学学院程勇教授评议。国内外共450余名听众参与本次线上讲座。

　　

　　佩克豪斯以一系列围绕数理逻辑和数学基础的问题作为本次讲座的切入点：数学家研究哲学的原因是什么？哲学与数学的关系是什么？数学上的哪些发展导致需要重新考虑有关数学基础的问题？希尔伯特（David Hilbert）的公理化纲领是一种哲学性的纲领吗？哲学家们从希尔伯特纲领中得到了什么启发？以及什么导致了作为学科的数理逻辑与数学基础的诞生？基于这一系列问题，佩克豪斯对数学哲学的发展历程进行了思想史式的梳理，并在其中着重讨论了希尔伯特的相关思想及其工作，以及它们在当时和后来所造成的影响。

　　在研究相关问题之初，佩克豪斯注意到，大部分数学哲学的工作都是由典型的数学家而非哲学家完成的，那么为什么这些数学家要去研究哲学呢？佩克豪斯认为，数学家们的动机显然在于寻求某种答案，但问题不在于此，而在于为何数学问题的答案会变成哲学问题。这就涉及到哲学与数学之间的关系。佩克豪斯主张在思想史上追溯至康德（Immanuel Kant）的哲学。康德的数学哲学建立在纯粹直观的基础上，这种直观是先验的，因而区别于那些经验的感性的直观。他引用《纯粹理性批判》中的“哲学的知识是出自概念的理性知识，而数学的知识则是出自概念之结构的理性知识。但是，构造一个概念，也就是先天地展示与该概念相应的直观”，并指出在这种关系之下，哲学和数学并不是对等的，关于数学的哲学是可能的，而关于哲学的数学则是不可能的。

　　遵循康德将数学和概念结构、纯粹直观联系起来的思路，从十九世纪关于数学基础的研究中诞生了结构数学（例如非欧几何、代数、集合论）和数理逻辑，其中最具代表性的是围绕希尔伯特的公理化纲领展开的一系列工作。希尔伯特区分了使用公理系统和构造（寻找）公理系统，而后者才能真正意义上称之为“公理化方法”（Axiomatic Method）。希尔伯特还区分了数学研究的两种任务，即“前进任务”和“回退任务”：前进任务是建立和发展相关的理论系统，并探索其逻辑上的结果；回退任务则是为已有成果寻求更坚固的基础，是对前提条件的考察，以尽量区分假设和逻辑推理。希尔伯特认为，数学归根结底是一种人造的科学，因此先验地预设了人类的理性，而这一预设并不是数学性的，而是哲学性的。

　　自二十世纪开始，希尔伯特的研究重点放在了数学公理化基础上，这一工作计划围绕对一致性的证明展开，因为只有公理系统的一致性才能确保公理化对象的存在，一致性使得逻辑是可靠且完备的，让语义和句法之间可以相互转换，因此为数学提供了某种本体论基础。但是，之前的对几何基础的公理化工作得到的只是一种间接的一致性，即如果算术是一致的，那么公理化系统也是一致的，希尔伯特此处则是基于一种逻辑主义的想法，将算术简化为逻辑，并进一步给出一种逻辑的公理化和一致性证明（然而后来哥德尔证明这是不可能的）。希尔伯特致力于数学基础体系的研究以确保数学实践，因此他的兴趣在于检验那些基础受到质疑的理论，而不是整个数学。这一工作可以削弱一部分哲学问题对数学的困扰，例如抽象对象的存在方式或数学知识的性质等等。但是，，这仍然在本质上是一个哲学问题，对此，希尔伯特寻求与其他哲学家（例如胡塞尔（Edmund Husserl）、纳尔逊（Leonard Nelson）等）和其他具有哲学头脑的数学家合作（例如伯内斯（Paul Bernays）、 阿克曼（Wilhelm Ackermann）、根岑（Gerhard Gentzen）等）。

　　佩克豪斯认为，希尔伯特的这一工作意在解决一系列悖论对于数学基础（特别是集合论）的威胁。策梅洛-罗素悖论（Zermelo-Russell Paradox）和格雷林悖论（Grelling’s Paradox）分别以不同但类似的方式指出了集合论在涉及自我包含或自我指涉时会产生的问题。而策梅洛随后的工作宣告了这类悖论对集合论来说似乎是无法解决的，因此也不能给出一个合理的一致性证明。

　　因此，希尔伯特避开了这个问题并在1917年之后转向了证明论的研究。希尔伯特在其公理化纲领中区分了形式数学（即数学本身）与内容数学（即证明论），其中证明论的主要问题是如何借助有穷的证明处理无穷概念。在1922年，希尔伯特正式提出了证明论，并在随后使得元数学逐渐发展成为具体的数学分支学科。对此，根岑认为希尔伯特的工作在于努力避免数学问题陷入哲学问题，尽量得到一个纯数学的解答，这聚焦于数学实践，但使得数学基础中的哲学问题没有得到任何解决。

　　但是，佩克豪斯也指出，希尔伯特纲领对哲学问题的回避容易遭致哲学家的批评，其中一些典型的批评来自新康德主义哲学家纳尔逊（Leonard  Nelson ）。纳尔逊遵循了弗里斯（Jakob Friedrich Fries）的人类学理性批判的传统，认为希尔伯特的工作中缺乏对数学起源问题的批判性立场，从而导致在脱离纯数学领域之后就变得空洞无物。纳尔逊将数学知识的来源视为是关于数学的批判理论的一部分，并且不承认希尔伯特所设想的：如果完成了一致性证明，那么就完成了对数学的本体论说明。纳尔逊尝试以溯因的方式对数学进行回退分析，将数学知识建立在直接知识（即纯粹直观和纯粹理性）之上，构造一种批判性的数学哲学，因此这是一种心理学或哲学人类学的任务。

　　维也纳学派则以另一种科学性的世界观的视角审视数学基础问题。维也纳学派试图寻找和建构一种中立的，不受历史语言糟粕所影响的符号和公式系统，为日常实践创造一套推理工具。借助逻辑分析，他们将传统哲学问题进行转化或消解，将各种概念简化为指称本身。其中典型的是卡尔纳普（Rudolf Carnap）1929年的《逻辑概要（Abriss der Logistik）》一书，在书中卡尔纳普详细说明了数理逻辑的方法以及在大量数学和哲学领域的应用。

　　最后，佩克豪斯将数理逻辑和数学基础的诞生史归结为二十世纪上半叶对数学基础危机的回应，并使十九世纪中叶以来的数学和逻辑学的研究得到了学科化和制度化。佩克豪斯借助肖尔茨（Heinrich Scholz）的观点对此进一步说明。肖尔茨认为，基于一种柏拉图式的对哲学和数学的理解，数学研究对哲学研究是不可或缺的，并且对数理逻辑和数学基础问题的研究作为一种“新基础研究”，作为一种从数学中产生的哲学，达到甚至于超越了数学的精确性。这种研究的基础性具有两重含义，第一重是这种研究在所有可能世界的普遍有效性，即作为一种形而上学的基础性；第二重是公理系统的比较研究中得出的基础性。

　　佩克豪斯总结道：以希尔伯特早期公理化纲领为代表的早期形式主义，与其同时代的竞争对手逻辑主义和直觉主义相比，并不是一个基础性的纲领，而仅仅是一个避免矛盾的实用主义纲领，以确保数学家的日常工作。但随着证明理论成为数学的一个分支学科，情况发生了变化，尽管这没有让数学彻底从哲学中脱离，但这仍然构成一种新的数学基础问题的感知方式，并塑造了一种新的哲学风格。

　

　　在评议环节，程勇教授首先感谢佩克豪斯的精彩演讲，并简要回顾了十九世纪和二十世纪数学哲学的发展历史。随后，程勇指出了讲座中一个可能存在的误解，即希尔伯特的公理化计划不仅如讲座中提到的那样，是对二十世纪初的数学危机回应，还是在数学从符号计算科学向概念推理和对数学对象进行抽象表征的科学的巨大转变过程的具体体现。他希望佩克豪斯能够对希尔伯特纲领的意义做出进一步的评价。

　　佩克豪斯回应，同意程勇对希尔伯特的公理化计划的解读，但是他认为对数学的形式化、概念化和抽象化不是希尔伯特的形式主义的充分理由，因为这种形式化只是一种对数学的呈现方式，而非数学的基础。并且，直觉主义同样试图为数学提供一种形式化的构造，但并没有发展出与逻辑主义类似的系统。因此，数学的转变不足以解释希尔伯特纲领的动机。至于希尔伯特纲领的意义，佩克豪斯认为这仍然是世界上最重要的数学项目之一，但由于自己并不是数学家，所以无法给出更具体的评价。

　　

　　（ 武汉大学哲学学院彭文楷/供稿）